При вирішенні прикладів цього розділу використовується формула інтегрування частинами:
;
.
Ось приклади таких інтегралів:
, , .
Для інтегрування подібних інтегралів, многочлен позначають через u , а частину, що залишилася - через v dx . Далі застосовують формулу інтегрування частинами.
Нижче надається докладне рішення цих прикладів.
Визначити інтеграл:
.
Введемо експоненту під знак диференціалу:
e - x dx = - e - x d(-x) = - d(e - x).
Інтегруємо частинами.
тут
.
Інтеграл, що залишився, також інтегруємо частинами.
.
.
.
Остаточно маємо:
.
Обчислити інтеграл:
.
Введемо синус під знак диференціалу:
Інтегруємо частинами.
тут u = x 2 , v = cos(2 x+3), du = (
x 2 )′
dx
Інтеграл, що залишився, також інтегруємо частинами. І тому вводимо косинус під знак диференціала.
тут u = x, v = sin(2 x+3), du = dx
Остаточно маємо:
Обчислити інтеграл:
.
Введемо косинус під знак диференціалу:
Інтегруємо частинами.
тут u = x 2 + 3 x + 5, v = sin 2 x, du = (
x 2 + 3 x + 5 )′
dx
Вводимо синус під знак диференціалу:
Останній інтеграл інтегруємо частинами
тут u = x, v = cos 2 x, du = dx
Остаточно маємо.
y (x) = e x, похідна якої дорівнює самій функції.Експоненту позначають так, або.
Підставою ступеня експоненти є число e. Це ірраціональне число. Воно приблизно рівне
е ≈ 2,718281828459045...
Число e визначається через межу послідовності. Це так званий, друга чудова межа:
.
Також число e можна подати у вигляді ряду:
.
Графік експоненти, y = e x.
На графіці представлено експонента, еу ступені х.
y (x) = е х
На графіку видно, що експонент монотонно зростає.
Основні формули такі ж, як і для показової функції з основою ступеня е.
;
;
;
Вираз показової функції з довільною основою ступеня a через експоненту:
.
Нехай y (x) = e x. Тоді
.
Експонента має властивості показової функції з основою ступеня е > 1 .
Експонента y (x) = e xвизначена всім x .
Її область визначення:
- ∞ < x + ∞
.
Її безліч значень:
0
< y < + ∞
.
Експонента є монотонно зростаючою функцією, тому екстремумів немає. Основні її властивості представлені у таблиці.
Зворотним для експонентів є натуральний логарифм.
;
.
Похідна еу ступені хдорівнює еу ступені х
:
.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >
Дії з комплексними числами здійснюються за допомогою формули Ейлера:
,
де є уявна одиниця:
.
;
;
.
;
;
;
.
Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.
Знаходження невизначеного інтеграла дуже частою завданням у вищої математики та інших технічних розділах науки. Навіть рішення найпростіших фізичних завдань не обходиться без обчислення кількох простих інтегралів. Тому зі шкільного віку нас навчають прийомів та методів вирішення інтегралів, наводяться численні таблиці з інтегралами найпростіших функцій. Однак з часом все це благополучно забувається, або у нас не вистачає часу на розрахунки, або нам потрібно знайти рішення невизначеного інтегралудуже складної функції. Для вирішення цих проблем вам буде незамінний наш сервіс, що дозволяє безпомилково знаходити невизначений інтеграл онлайн.
Онлайн сервіс на сайтдозволяє знаходити рішення інтеграла онлайншвидко, безкоштовно та якісно. Ви можете замінити пошук за таблицями потрібного інтеграла нашим сервісом, де швидко ввівши потрібну функцію, ви отримаєте рішення невизначеного інтеграла в табличному варіанті. Не всі математичні сайти здатні обчислювати невизначені інтеграли функцій в режимі онлайн швидко та якісно, особливо якщо потрібно знайти невизначений інтегралвід складної функції або таких функцій, які не включені до загального курсу вищої математики. Сайт сайтдопоможе вирішити інтеграл онлайн і впоратися із поставленим завданням. Використовуючи онлайн рішення інтеграла на сайті сайт, ви завжди отримаєте точну відповідь.
Навіть якщо ви хочете обчислити інтеграл самостійно, завдяки нашому сервісу вам буде легко перевірити свою відповідь, знайти допущену помилку чи описку, або переконатися в бездоганному виконанні завдання. Якщо ви вирішуєте завдання і вам, як допоміжну дію, необхідно обчислити невизначений інтеграл, то навіщо витрачати час на ці дії, які, можливо, ви вже виконували тисячу разів? Тим більше, що додаткові розрахунки інтеграла можуть бути причиною описки або маленької помилки, які згодом призвели до невірної відповіді. Просто скористайтесь нашими послугами та знайдіть невизначений інтеграл онлайнбез будь-яких зусиль. Для практичних завдань знаходження інтегралафункції онлайнцей сервер дуже корисний. Необхідно ввести задану функцію, отримати онлайн рішення невизначеного інтегралута порівняти відповідь з вашим рішенням.
Рішення:
Цей інтеграл можна знайти за допомогою прямого інтегрування. Для цього знайдемо первинну функцію sin(x), а також скористатися властивістю, за якою постійну можна винести за знак інтеграла.
$$ \int 5 sin(x)dx = 5 \cdot \int sin(x)dx = 5 \cdot (-cos(x)) + C = -5cos(x) + C$$
Відповідь:$$ \int 5 sin(x)dx = -5cos(x) + C$$
Рішення:
Для вирішення даного інтеграла необхідно перетворити вираз, після чого знайти первісну. Спочатку винесемо спільний множник:
$$ \int \frac(dx)(\sqrt(5-4x^2)) = \frac(1)(2) \cdot \int \frac(dx)(\sqrt((\frac(5)(4) -x^2)))) = \frac(1)(2) \cdot \int \frac(dx)(\sqrt( \left((\sqrt((\frac(5)(4))))))^ 2 -x^2 \right) )) $$
Тепер можна використовувати табличний інтеграл:
$$ \int \frac(dx)(\sqrt((5-4x^2))) = \frac(1)(2) \cdot arcsin \left(\sqrt((\frac(5)(4)) ) \cdot x \right) + C$$
Відповідь:$$ \int \frac(dx)(\sqrt(5-4x^2)) = \frac(1)(2) \cdot arcsin \left(\sqrt((\frac(5)(4)))) \ cdot x \right) + C $$
Рішення:
Щоб знайти інтеграл, потрібно внесення змінної під знак диференціала:
$$ \int tg xdx = \int sin \frac(xdx)(cos x) = - \int d cos \frac(x)(cos x) $$
Тепер скористаємося табличним інтегралом:
$$ - \ int dcos \ frac (x) (cos x) = ln | cos x | + C $$
Відповідь:$$ \int tg xdx = ln | cos x | + C$$
Рішення:
Щоб вирішити цей інтеграл, доцільно перетворити його, внісши одну з функцій під знак диференціалу, а потім зробити заміну змінної:
$$ \int (1 + 2sin x)^2 \cdot cos xdx = \frac(1)(2) \int (1 + 2sin x)^2 d (1 + 2sin x) $$
Зробимо заміну змінної 1+2sin x=t:
$$ \frac(1)(2) \int t^2 dt = \frac(1)(2) \cdot \frac(t^3)(3) + C = \frac(t^3)(6) + C = \frac((1 + 2sin x)^3)(6) + C$$
Відповідь:$$ \int(1+2sin x)^2 \cdot cos xdx = \frac((1 + 2sin x)^3)(6) + C$$
Рішення:
Щоб знайти цей інтеграл, використовуємо правила інтегрування частинами $$ \int vdu=vu- \int udv $$. Перетворюємо інтеграл:
$$ \int x \cdot sin x dx = - \int x d cos x = -(x \ cdot x - \int cos x dx) $$
Зводимо до табличного інтегралу:
$$ - (x \ cdot cos x - \ int cos x dx) = - (x \ cdot cos x - sin x) + C = sin x - x \ cdot cos x + C $$
Відповідь:Рішення:
При інтегруванні раціональної функції розбиваємо її кілька більш простих з допомогою методу невизначених коефіцієнтів. По теоремі Вієта можна визначити коріння знаменника 1 і 2. Тоді функція набуде вигляду:
$$ \frac((x+1))( ((x-2) \cdot (x-1)) ) $$
Застосовуючи метод невизначених коефіцієнтів, отримаємо:
$$ \frac((A(x-1) + B(x-2)))((((x-2) \cdot(x-1))) = \frac( (((A+B)x-A-2B) ) )( ((x-2)\cdot(x-1)) ) $$
Складемо систему рівнянь:
$$ \begin(cases) A + B = 1 \\ -A-2B = 1 \end(cases) $$
Вирішуючи її, отримаємо:
$$ \frac((x+1))((((x-2)\cdot(x-1))) = \frac(3)((x-2)) - \frac(2)((x- 1)) $$
Повернемося до інтегрування:
$$ \int \frac(3)((x-2)dx) - \int \frac(2)((x-1)dx) = 3 \cdot ln |x-2| -2 \cdot ln|x-1| + C $$
Відповідь:$$ \int x \cdot sin x dx = sin x - x \cdot cos x + C $$
Рішення:
Щоб знайти інтеграл скористаємося тригонометричною заміною tg3x=t, тоді
$$ x= \frac(1)(3) \cdot arctg t, \quad dx= \frac(dt)((3(1+t²))) $$
Зробимо підстановку:
$$ \int tg^33xdx = \int \frac(t^3 dt)((3 \cdot (1+t^2))) = \frac(1)(3) \left(\int \frac(( t^3 + t)dt)((1+t^2)) - \int \frac(tdt)((1+t^2)) \right) = $$ $$ = \frac(1)(3 )(\int tdt - \frac(1)(2) \cdot \int \frac(2tdt)((1+t^2))) = \frac(1)(3) (\frac(t^2) (2) - \frac(1)(2) \cdot \int \frac(d(1+t^2))((1+t^2))) = $$ $$ = \frac(t^2 )(6) - \frac(1)(6) \cdot ln|1+t^2|+C = tg^2\frac(3x)(6) - \frac(1)(6) \cdot ln| 1+tg^23x| + C$$
Відповідь:$$ \int tg^33xdx = tg^2\frac(3x)(6) - \frac(1)(6) \cdot ln|1+tg^23x| + C $$
Рішення:
Застосуємо тригонометричну формулу, пов'язану з подвійним аргументом $$ sin^2x=\frac((1-cos 2x))(2) $$, після чого розіб'ємо інтеграл на два простіші:
∫sin²xdx=1/2·∫(1-cos 2x)dx=1/2·∫dx-1/2·∫cos 2xdx=1/2·∫dx-1/4·∫cos 2xd2x=1/2· x-1/4·sin 2x+C=1/2·(x-sin 2x/2)+C $$ \int sin^2xdx = \frac(1)(2) \cdot \int(1-cos 2x )dx = \frac(1)(2) \cdot \int dx -\frac(1)(2) \int cos 2xdx =$$ $$ = \frac(1)(2) \cdot \int dx - \ frac(1)(4) \cdot \int cos 2xdx = \frac(1)(2) \cdot x - \frac(1)(4) \cdot sin 2x + C = \frac(1)(2) \ cdot (x - sin \frac(2x)(2)) + C $$
Відповідь:$$ \int sin^2xdx = \frac(1)(2) \cdot (x - sin \frac(2x)(2)) + C $$
Рішення:
Спочатку розкладемо інтеграл на 2 простіших, а потім зробимо заміну:
$$ \int \frac((x+1)dx)(\sqrt((3-x^2))) = \int \frac(xdx)( \sqrt((3-x^2)) ) + \ int \frac(dx)( \sqrt((3-x^2)) ) $$
Візьмемо кожен із інтегралів окремо:
$$ \int \frac(xdx)( \sqrt((3-x^2)) ) = \frac(1)(2) \cdot \int \frac(dx^2)( \sqrt((3-x ^2)) ) = - \frac(1)(2) \cdot \int \frac(d(3-x^2))( \sqrt(3-x^2) ) = - \sqrt((3- x^2)) + C $$
$$ \int \frac(dx)( \sqrt((3-x^2)) ) = arcsin \frac(x)( \sqrt(3) ) +C $$
$$ \int \frac((x+1)dx)(\sqrt((3-x^2)) ) = arcsin \frac(x)(\sqrt(3)) - \sqrt((3 - x^ 2)) + C $$
Відповідь:$$ \int \frac((x+1)dx)(\sqrt(3-x^2)) = arcsin \frac(x)(\sqrt(3)) - \sqrt((3 - x^2) ) + C $$
Рішення:
Щоб знайти інтеграл необхідно двічі застосувати інтегрування частинами. Отримаємо:
$$ \int x \cdot ln^2 xdx = \frac(1)(2) \cdot \int ln^2xdx^2 = \frac(1)(2) \cdot (ln^2 x \cdot x^2 - \int x^2d ln^2x) = \frac(1)(2) \cdot (ln^2x \cdot x^2 - \int x^2 \cdot 2 \cdot ln \frac(xdx)(x) )= $$
$$ = \frac(1)(2) \cdot (ln^2x \cdot x^2 - 2 \cdot \int x \cdot ln xdx) = \frac(1)(2) \cdot (ln^2x \ cdot x \cdot x^2 - 2 \cdot \frac(1)(2) \cdot (ln x \cdot x^2 - \int xdx)) = ln^2 x \cdot \frac(x^2)( 2) - \frac(x^2)(4) +C$$
Відповідь:$$ \int x \cdot ln^2 xdx = ln^2 x \cdot \frac(x^2)(2) - \frac(x^2)(4) +C $$
Інтеграли онлайн на сайт для закріплення студентами та школярами пройденого матеріалу. Щоразу, як тільки почати вирішувати інтеграл, потрібно виявити його тип, без цього не можна застосовувати жоден метод, якщо не вважати його табличним. Не всякий табличний інтеграл видно явно із заданого прикладу, іноді потрібно перетворити вихідну функцію, щоб знайти первісну. Насправді рішення інтегралів зводиться до інтерпретування завдання з знаходження вихідної, тобто первісної з нескінченного сімейства функцій, але якщо задані межі інтегрування, то за формулою Ньютона-Лейбніца залишається лише одна єдина функція, до якої потрібно застосовувати розрахунки. Неформально інтеграл онлайн є площею між графіком функції та віссю абсцис у межах інтегрування. Дозвольте нам обчислити складний інтеграл по одній змінній та пов'язати його відповідь із подальшим вирішенням завдання. Можна, що мовиться, в лоб знайти його від підінтегральної функції. Відповідно до основної теореми аналізу, інтегрування є операцією, зворотної диференціювання, чим допомагає вирішувати диференціальні рівняння. Існує кілька різних визначень операції інтегрування, що відрізняються у технічних деталях. Проте всі вони сумісні, тобто будь-які два способи інтегрування, якщо їх можна застосувати до цієї функції, дадуть той самий результат. Найпростішим є інтеграл Рімана – це певний інтеграл чи невизначений інтеграл. Неформально integral однією змінною можна запровадити як площі під графіка (фігури, укладеної між графіком функції та віссю абсцис). Намагаючись знайти цю площу, можна розглядати фігури, що складаються з певної кількості вертикальних прямокутників, основи яких складають разом відрізок інтегрування і виходять при розбитті відрізка на кількість маленьких відрізків. Калькулятор вирішує інтеграли з описом дій докладно та безкоштовно! Невизначений інтеграл онлайн для функції – це сукупність всіх первісних цієї функції. Якщо функція визначена і безперервна на проміжку, то для неї є первісна функція (чи сімейство первісних). Краще ретельно підійти до цієї справи та випробувати внутрішнє задоволення від виконаної роботи. Але обчислити інтеграл спосіб відмінний від класичного, часом призводить до несподіваних результатів і дивуватися цьому не можна. Тішить той факт, який надасть позитивний резонанс на те, що відбувається. Список певних інтегралів та невизначених інтегралів з повним докладним покроковим рішенням. Знаходження невизначеного інтеграла онлайн є дуже частою задачею у вищій математиці та інших технічних розділах науки. Основні методи інтегрування. Подумайте про виконані будівлі раніше, ніж знайдуться помилки. Рішення інтегралів онлайн – ви отримаєте докладне рішення для різних типів інтегралів: невизначених, певних, невласних. Інтеграл функції – аналог суми послідовності. Неформально кажучи, певний інтеграл є частиною графіка функції. Найчастіше такий інтеграл визначає, наскільки тіло важче порівнюваного з ним об'єкта такої ж щільності, і неважливо, якої він форми, тому що поверхня не вбирає воду. Як знайти інтеграл онлайн знає кожен студент молодших курсів На базі шкільної програми цей розділ математики також вивчається, але не докладно, а лише ази такої складної та важливої теми. Найчастіше студенти приступають до вивчення інтегралів з великої теорії, якій передують теж важливі теми, такі як похідна і граничні переходи - вони межі. Рішення інтегралів поступово починається з найелементарніших прикладів від простих функцій і завершується застосуванням безлічі підходів і правил, запропонованих ще в минулому столітті і навіть набагато раніше. Інтегральне обчислення має ознайомлювальний характер у ліцеях і школах, тобто у середніх навчальних закладах. Наш сайт сайт завжди допоможе вам і рішення інтегралів онлайн стане для вас звичайним, а найголовніше зрозумілим заняттям. На базі даного ресурсу ви легко зможете досягти досконалості в цьому математичному розділі. Осягаючи крок за кроком досліджувані правила, наприклад, такі як інтегрування, частинами або застосування методу Чебишева, ви легко вирішите на максимальну кількість балів будь-який тест. То як же нам обчислити інтеграл, застосовуючи відому всім таблицю інтегралів, але так, щоб рішення було правильною, коректною і з максимально можливою точною відповіддю? Як навчитися цьому та чи можливо це зробити звичайному першокурснику у найкоротший термін? На це запитання відповімо ствердно – можна! При цьому ви не тільки зможете вирішити будь-який приклад, але й досягнете висококласного рівня інженера. Секрет простий як ніколи – необхідно докласти максимального зусилля, приділити необхідну кількість часу на самопідготовку. На жаль, ще ніхто не вигадав іншого способу! Але не все так хмарно, як здається на перший погляд. Якщо ви звернетеся до нашого сервісу сайт з даним питанням, то ми полегшимо вам життя, тому що наш сайт може обчислювати інтеграли онлайн докладно, при цьому з дуже високою швидкістю та бездоганно точною відповіддю. По суті інтеграл не визначає, як впливає ставлення аргументів на стійкість системи загалом. Механічний зміст інтеграла полягає у багатьох прикладних завданнях, це визначення обсягу тіл, і обчислення маси тіла. Потрійні та подвійні інтеграли беруть участь якраз у цих розрахунках. Ми наполягаємо на тому, щоб рішення інтегралів онлайн проводилося тільки під наглядом досвідчених викладачів і через численні перевірки. Ми відповідаємо, що студенти народ вільний і можуть проходити навчання екстерном, готуючись до заліку чи екзамену в комфортних домашніх умовах. За лічені секунди наш сервіс допоможе кожному бажаючому обчислити інтеграл від будь-якої заданої функції змінної. Перевірити отриманий результат слід взяттям похідної від первісної функції. При цьому константа від рішення інтеграла звертається до нуля. Це правило очевидно для всіх. Існує не багато таких сайтів, які за лічені секунди видають покрокову відповідь, а головне з високою точністю та у зручному вигляді. Але не слід забувати і про те, як є можливість знайти інтеграл за допомогою готового сервісу, перевіреного часом і випробуваного на тисячах вирішених прикладів у режимі онлайн.
